Tip: Podívejte se na mého 
průvodceTento článek není o definici elementárních funkcí (jako např. $\sin$, $\cos$ apod.) a operací (např. $a^b$), nýbrž o způsobu, jak definovat novou funkci pomocí elementárních (např. $f(x) = x^2e^x$) bez použití proměnných (tj. bez onoho $x$).
Pro spoustu funkcí už způsob, jak je zapsat bez proměnných, existuje. Pokud je např. $A$ operátor působící na reálných funkcích, můžeme klidně napsat $A(\sin)$ místo $A(f)$, $f(x) = \sin(x)$. Důvod, proč většinou $\sin$ bez argumentu nepotkáme, je, že by to vedlo k nekonzistentnímu zápisu. Pokud např. $f(x) = \sin(x^2)$, jak zapíšeme $A(f)$ bez toho, aniž bychom nejdříve definovali $f$?
Řešení je ve skutečnosti jednoduché – definujme novou funkci:
$$ \id(x) = x $$Zde úmyslně neuvádím, do jaké množiny $x$ patří. Můžeme definovat $\id: ℝ → ℝ$ nebo $\id: ℂ → ℂ$, či jakékoliv jiné, které uznáme za vhodné. Symbol $\id$ (sázený pomocí {\large\iota} v Latexu) jsem vybral, jelikož se jedná o identickou funkci, tj. funkci, která „nic nedělá“, a také proto, že je běžné značit inkluzi z množiny do nadmnožiny (tj. funkci, která nic nedělá) symbolem $ι$.
S pomocí $\id$ můžeme zapsat jakoukoliv funkci bez použití proměnných. Použijeme k tomu následující pravidla:
- Pokud $*$ je binární operace a $f$ a $g$ jsou funkce, $f*g$ značí funkci definovanou $$ (f*g)(x) = f(x)*g(x)\,. $$ Podobně také $fg$ znamená $(fg)(x) = f(x)g(x)$ a $÷{f}{g}\!(x) = ÷{f(x)}{g(x)}$. Stejný princip použijeme i na mocnění, tj. $$ (f^g)(x) = (f(x))^{g(x)}\,. $$
- Jsou-li $f$ a $g$ funkce, složení $f$ a $g$, tj. $f ∘ g$, může být označeno jako $f(g)$ za předpokladu, že je zjevné, že se jedná o složení, nikoliv o násobení.
Použitím prvního pravidla dostáváme např.:
$$ \begin{array}[l] \phantom{} f = \id^3 \\ g = \sin^2 \\ h = \sin\cos \\ i = e^\id \\ j = ÷{\sin}{\cos} \end{array}\quad⇒\quad\begin{array}[l] \phantom{} f(x) = x^3 \\ g(x) = (\sin(x))^2 = \sin^2(x) \\ h(x) = \sin(x)\cos(x) \\ i(x) = e^x \\ j(x) = ÷{\sin(x)}{\cos(x)} \end{array} $$A použitím druhého:
$$ \begin{array}[l] \phantom{} f = \sin(\cos) \\ g = \tan(\id^2+1) \\ h = \log\l(÷{\sin}{\cos}\r)\end{array}\quad⇒\quad\begin{array}[l] \phantom{} f(x) = \sin(\cos(x)) \\ g(x) = \tan(x^2+1) \\ h(x) = \log\l(\l(÷{\sin}{\cos}\r)(x)\r) = \log\l(÷{\sin(x)}{\cos(x)}\r)\end{array} $$Druhé pravidlo je samozřejmě dobrovolné, jelikož můžeme vždy psát $f ∘ g$ místo $f(g)$, ale použití závorek je mnohdy přirozenější – který z následujících výrazů považujete za čitelnější?
$$ \sin(\id^2)\cos(\id^3) = ({\sin} ∘ \id^2)({\cos} ∘ \id^3) $$Nicméně existují případy, kdy je přirozenější závorkou označit hranice násobených výrazů. Určitě je lepší zapisovat
$$ (\cos+\sin)(\cos-\sin) = \cos^2-\sin^2 $$než aby v tomto případě závorka značila složení:
$$ ({\cos}+{\sin}) ∘ ({\cos}-{\sin}) = \cos({\cos}-{\sin}) + \sin({\cos}-{\sin})\,, $$K čemu je to dobré?
Proč bychom se měli zabývat definováním funkcí bez proměnných? Uvažte následující funkci:
$$ f = (\id^2+\id^3+\id^4)∘(2\id^2+3\id^3+4\id^4)∘(\id+\id^2) $$Struktura $f$ je jasná. V tradiční notaci není možné zapsat $f$ pomocí jednoduchého výrazu. Jednotlivé polynomy musí být vypsány na všech místech, kde se vyskytují:
\begin{align*} f(x) = &\big(2(x+x^2)^2+3(x+x^2)^3+4(x+x^2)^4\big)^2+\\ &+\big(2(x+x^2)^2+3(x+x^2)^3+4(x+x^2)^4\big)^3+\\ &+\big(2(x+x^2)^2+3(x+x^2)^3+4(x+x^2)^4\big)^4\,, \end{align*}což je nepřehledné. V předchozí notaci by nebylo těžké spočítat hodnotu $f$ v nějakém bodě jen za použití tužky a papíru, např.:
$$ f(1) =(\id^2+\id^3+\id^4) \l((2\id^2+3\id^3+4\id^4)(2)\r) = (\id^2+\id^3+\id^4)(96) \approx 86\cdot10^6 \ , $$ale v klasické notaci by to byl poměrně nepříjemný úkol. A nejen, že by byl nepříjemný, byl by i výrazně výpočetně náročnější, pokud bychom výpočet prováděli na počítači.
Zjednodušení nespočívá pouze ve výpočtu numerických hodnot, nýbrž i v algebraických úpravách. Např. za použití pravidla o derivaci složené funkce:
$$ (f∘g∘h)‘ = (f’∘g∘h)(g’∘h)h‘ $$můžeme derivaci předchozí funkce spočítat snadno:
\begin{align*} f‘ = &\l((2\id+3\id^2+4\id^3)∘(2\id^2+3\id^3+4\id^4)∘(\id+\id^2)\r)\\ &\l((4\id+9\id^2+16\id^3)∘(\id+\id^2)\r)(1+2\id)\,. \end{align*}Dovedete si představit výpočet $f’(x)$ v tradiční notaci?
