Diskont, eskont a úrok

Jakub Marian

Tip: Podívejte se na mého průvodce častými chybami v angličtině. Naučí Vás, jak se vyvarovat chyb s čárkami, předložkami, nepravidelnými slovesy a podobnými neduhy.

V zásadě můžeme říci, že diskontování je opak úročení – podívejme se tedy nejdříve, jak funguje úročení. Při úročení známe současnou hodnotu poskytnutého finančního obnosu (označme ji $K_0$) – muže to být výše půjčky poskytnuté bankou, nominální hodnota směnky nebo třeba vklad na účtu v bance – a chceme určit její hodnotu $K_n$ po $n$ úrokových obdobích (tj. kolik peněz tato částka v budoucnosti „vygeneruje“).

Pokud částku úročíme jednoduše (na konci každého úrokového období pošleme věřiteli určité konstantní procento z původní částky), vygeneruje počáteční částka $K_0$ po $n$ úrokových obdobích úrok $n⋅i⋅K_0$, kde $i$ je úroková sazba (vyjádřená jako desetinné číslo). Celková hodnota po $n$ obdobích tedy bude:

$$ K_n = K_0 + n⋅i⋅K_0 = K_0(1+n⋅i) $$

U běžných úvěrů se tato metoda používá typicky pouze pro období kratší než jeden rok (kde $i$ je úroková míra p.a., tj. roční, a $0 < n ≤ 1$ se spočte jako $n = D/360$, kde $D$ je počet dnů trvání úvěru (rok se dle evropské konvence považuje za 360 dnů dlouhý). U dluhopisů (kde úrok odpovídá tzv. kuponu) se běžně využívá i na delší období.

Pokud úročíme složeně (tj. připsaný úrok se na konci dalšího období také úročí, např. na účtu v bance), v každém kroku se celá částka znásobí $(1+i)$-krát:

$$ K_n = (1+i)^n⋅K_0 $$

Diskont

Při diskontování (z anglického discounting) máme opačnou situaci. Známe budoucí hodnotu a chceme zjistit, jakou hodnotu pro nás má nyní. K tomu dochází například u směnek, což je v zásadě papír, na kterém je uvedena částka a informace, kdy emitent (výstavce) směnky zaplatí danou částku držiteli směnky. Směnka tedy znamená nárok na určité množství peněz v určitou dobu v budoucnosti.

Pokud byste chtěli od někoho směnku odkoupit, samozřejmě by byla hloupost zaplatit za ni celou nominální hodnotu – tím byste pouze vyměnili likvidní peníze, které můžete dále různými způsoby investovat, za směnku o stejné hodnotě, se kterou nemůžete do doby splatnosti v podstatě nic dělat.

Proto se zavádí tzv. diskontní sazba $d$, která je v jistém smyslu úrokovou sazbou „směrem dozadu“. Známá budoucí hodnota $K$ se posouváním do minulosti o $n$ období v každém období snižuje (o „ušlé úroky“). Diskontovat (stejně jako úročit) můžeme buď jednoduše (typicky pro $0 < n ≤ 1$):

$$ K_{\text{současná}} = K - n⋅d⋅K = K⋅(1-n⋅d) $$

nebo složeně:

$$ K_{\text{současná}} = K⋅(1-d)^n $$

Pozor! Není to tak, že pokud si na odkoupení směnky vezmeme úvěr s úrokovou sazbou $i$, mohli bychom spočítat současnou hodnotu směnky dosazením $d = i$ (je to stejný princip, jako že 80 % ze 120 není 100). Vztah mezi $d$ a $i$ můžeme odvodit z toho, že budoucí hodnota vypočtená z úroků se sazbou $i$ diskontovaná zpět na současnou hodnotu sazbou $d$ musí být opět původní hodnota. To pro jednoduché úročení a diskontování dává $K_0 = K_0⋅(1+n⋅i)(1-n⋅d)$, což můžeme upravit na:

$$ d = \frac{i}{1+n⋅i} $$

A pro složené $K_0 = K_0⋅(1+i)^n⋅(1-d)^n$, což vede k

$$ d = \frac{i}{1+i} $$

Eskont

U směnek se jednoduché diskontování používá při tzv. eskontování, což je v podstatě odkoupení směnky bankou. Pokud vlastníte směnku splňující určitá kritéria, banka ji od Vás odkoupí, ale místo nominální hodnoty $K$ Vám vyplatí hodnotu poníženou o částku $n⋅d⋅K$ (které se říká obchodní diskont), kde $d$ je diskontní sazba nabízená bankou a $n$ je počet období do data splatnosti směnky. Diskontní sazbu si banka určuje interně podle sazeb ČNB, situace na trhu a konkrétního klienta.

Diskontní sazba se typicky udává „p.a.“, tj. jako roční, ale s konvencí, že rok je dlouhý 360 dnů. Počet období $n$ bude typicky zlomek menší než $1$ (směnky na delší dobu se zpravidla neeskontují). Pokud například do data splatnosti směnky o nominální hodnotě $10\,000$ Kč zbývá $68$ dní a banka má diskontní sazbu $5$ % p.a., zaplatí za směnku klientovi $10\,000 ⋅ (1-\frac{68}{360}⋅0{,}05) = 9906$ Kč (od čehož si ale samozřejmě odečte také nějaký poplatek za vyřízení žádosti).

Výše jsem uvedl, že eskontování je „v podstatě odkoupení směnky“, ale nejedná se o odkoupení v pravém slova smyslu. Rozdíl je totiž v tom, že formálně Vám banka poskytne pouze tzv. eskontní úvěr, který je posléze splacen ve chvíli, kdy emitent směnky (dlužník) směnku bance proplatí. Pokud ovšem k proplacení nedojde, je povinen eskontní úvěr splatit původní držitel směnky a soudně se vypořádat s dlužníkem. Banka tedy na sebe nepřebírá riziko, že směnka nebude emitentem proplacena.

Mimochodem, už jste viděli mého průvodce nejčastějšími chybami, které studenti dělají v angličtině? Určitě se na něj podívejte – je k dispozici také v PDF.

Napište komentář 0